Resol x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Resoleu x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 20, el mínim comú múltiple de 5,4.

$$4x=5y$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multipliqueu \frac{1}{4} per 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Substituïu \frac{5y}{4} per x a l'altra equació, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Sumeu -\frac{5y}{4} i y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multipliqueu els dos costats per -4.

$$y=12$$

Substituïu 12 per y a x=\frac{5}{4}y. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multipliqueu \frac{5}{4} per 12.

$$x=15$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=15,y=12$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 20, el mínim comú múltiple de 5,4.

$$4x=5y$$

Resteu 5y en tots dos costats.

$$4x-5y=0$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 3.

$$y=x-3$$

Resteu x en tots dos costats.

$$y-x=-3$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=15,y=12$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 20, el mínim comú múltiple de 5,4.

$$4x=5y$$

Resteu 5y en tots dos costats.

$$4x-5y=0$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 3.

$$y=x-3$$

Resteu x en tots dos costats.

$$y-x=-3$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Per igualar 4x i -x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per -1 i tots els termes de cada costat de la segona per 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Simplifiqueu.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Resteu -4x+4y=-12 de -4x+5y=0 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Sumeu -4x i 4x. Els termes -4x i 4x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$5y-4y=12$$

Sumeu 5y i -4y.

$$y=12$$

Substituïu 12 per y a -x+y=-3. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$-x+12=-3$$

Resteu 12 als dos costats de l'equació.

$$-x=-15$$

Dividiu els dos costats per -1.

$$x=15$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=15,y=12$$