Resol x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Resoleu x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 12, el mínim comú múltiple de 3,4.

$$4x+3y=48$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4, el mínim comú múltiple de 2,4.

$$2x-y=4$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$4x+3y=48$$

Resteu 3y als dos costats de l'equació.

$$4x=-3y+48$$

Dividiu els dos costats per 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{4} per -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Substituïu -\frac{3y}{4}+12 per x a l'altra equació, 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Multipliqueu 2 per -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Sumeu -\frac{3y}{2} i -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Resteu 24 als dos costats de l'equació.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Dividiu els dos costats de l'equació per -\frac{5}{2}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$y=8$$

Substituïu 8 per y a x=-\frac{3}{4}y+12. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Multipliqueu -\frac{3}{4} per 8.

$$x=-6+12$$

Sumeu 12 i -6.

$$x=6$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=6,y=8$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 12, el mínim comú múltiple de 3,4.

$$4x+3y=48$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4, el mínim comú múltiple de 2,4.

$$2x-y=4$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=6,y=8$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 12, el mínim comú múltiple de 3,4.

$$4x+3y=48$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4, el mínim comú múltiple de 2,4.

$$2x-y=4$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Per igualar 4x i 2x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 2 i tots els termes de cada costat de la segona per 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Simplifiqueu.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Resteu 8x-4y=16 de 8x+6y=96 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Sumeu 8x i -8x. Els termes 8x i -8x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$6y+4y=96-16$$

Sumeu 6y i 4y.

$$10y=96-16$$

Sumeu 96 i -16.

$$10y=80$$

Dividiu els dos costats per 10.

$$y=8$$

Substituïu 8 per y a 2x-y=4. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$2x-8=4$$

Sumeu 8 als dos costats de l'equació.

$$2x=12$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=6$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=6,y=8$$