Resol x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Resoleu x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -1,1, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, el mínim comú múltiple de \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x^{2}+2x+1 per x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x^{2}-2x+1 per x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Per trobar l'oposat de x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combineu x^{5} i -x^{5} per obtenir 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combineu -x^{2} i -x^{2} per obtenir -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combineu 2x^{4} i 2x^{4} per obtenir 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combineu -2x i 2x per obtenir 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combineu x^{3} i -x^{3} per obtenir 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Resteu -1 de 1 per obtenir -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 6 per x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 6x^{2}-12x+6 per x^{2}+2x+1 i combinar-los com termes.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Resteu 6x^{4} en tots dos costats.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Combineu 4x^{4} i -6x^{4} per obtenir -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Afegiu 12x^{2} als dos costats.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Combineu -2x^{2} i 12x^{2} per obtenir 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Resteu 6 en tots dos costats.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Resteu -2 de 6 per obtenir -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Substitueix t per x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu -2 per a, 10 per b i -8 per c a la fórmula quadràtica.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Resoleu l'equació t=\frac{-10±6}{-4} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$t=1 t=4$$

Com que x=t^{2}, les solucions s'obtenen mitjançant l'avaluació de x=±\sqrt{t} per a cada t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

La variable x no pot ser igual a cap dels valors 1,-1.

$$x=-2 x=2$$