Resol x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Resoleu x

$$x=3$$

Passos amb factorització per agrupació

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -9,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per x\left(x+9\right), el mínim comú múltiple de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multipliqueu x+9 per x+9 per obtenir \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multipliqueu x per x per obtenir x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combineu x^{2} i x^{2}\times 16 per obtenir 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 8x per x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resteu 8x^{2} en tots dos costats.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combineu 17x^{2} i -8x^{2} per obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resteu 72x en tots dos costats.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combineu 18x i -72x per obtenir -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Dividiu els dos costats per 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a x^{2}+ax+bx+9. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Com que ab és positiu, a i b tenen el mateix inici de sessió. Com que a+b és negatiu, a i b són ambdós negatius. Llista de totes les parelles d'enters que donen 9 de producte.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

La solució és la parella que atorga -6 de suma.

$$a=-3 b=-3$$

Reescriviu x^{2}-6x+9 com a \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

x al primer grup i -3 al segon grup.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Simplifiqueu el terme comú x-3 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Reescriviu com a quadrat del binomi.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Per trobar la solució de l'equació, resoleu x-3=0.

$$x=3$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -9,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per x\left(x+9\right), el mínim comú múltiple de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multipliqueu x+9 per x+9 per obtenir \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multipliqueu x per x per obtenir x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combineu x^{2} i x^{2}\times 16 per obtenir 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 8x per x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resteu 8x^{2} en tots dos costats.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combineu 17x^{2} i -8x^{2} per obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resteu 72x en tots dos costats.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combineu 18x i -72x per obtenir -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu 9 per a, -54 per b i 81 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Eleveu -54 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multipliqueu -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multipliqueu -36 per 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Sumeu 2916 i -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

El contrari de -54 és 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Multipliqueu 2 per 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Dividiu 54 per 18.

$$x=3$$

Passos per calcular el quadrat

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -9,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per x\left(x+9\right), el mínim comú múltiple de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multipliqueu x+9 per x+9 per obtenir \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multipliqueu x per x per obtenir x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combineu x^{2} i x^{2}\times 16 per obtenir 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 8x per x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Resteu 8x^{2} en tots dos costats.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combineu 17x^{2} i -8x^{2} per obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Resteu 72x en tots dos costats.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combineu 18x i -72x per obtenir -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Resteu 81 en tots dos costats. Qualsevol valor restat a zero dóna com a resultat la seva negació.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Dividiu els dos costats per 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

En dividir per 9 es desfà la multiplicació per 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Dividiu -54 per 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Dividiu -81 per 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Dividiu -6, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir -3. A continuació, sumeu el quadrat del nombre -3 als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Eleveu -3 al quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Sumeu -9 i 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Factor x^{2}-6x+9. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifiqueu.

$$x-3=0 x-3=0$$

Sumeu 3 als dos costats de l'equació.

$$x=3 x=3$$

L'equació ja s'ha resolt. Les solucions són les mateixes.

$$x=3$$