Resol f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Resoleu f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 33, el mínim comú múltiple de 11,33.

$$3f=g$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Substituïu \frac{g}{3} per f a l'altra equació, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Sumeu \frac{g}{3} i g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Dividiu els dos costats de l'equació per \frac{4}{3}, que és el mateix que multiplicar els dos costats pel recíproc de la fracció.

$$g=30$$

Substituïu 30 per g a f=\frac{1}{3}g. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular f directament.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multipliqueu \frac{1}{3} per 30.

$$f=10$$

El sistema ja funciona correctament.

$$f=10,g=30$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 33, el mínim comú múltiple de 11,33.

$$3f=g$$

Resteu g en tots dos costats.

$$3f-g=0$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu f i g.

$$f=10,g=30$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 33, el mínim comú múltiple de 11,33.

$$3f=g$$

Resteu g en tots dos costats.

$$3f-g=0$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Per igualar 3f i f, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 1 i tots els termes de cada costat de la segona per 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Simplifiqueu.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Resteu 3f+3g=120 de 3f-g=0 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Sumeu 3f i -3f. Els termes 3f i -3f s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$-g-3g=-120$$

Sumeu -g i -3g.

$$-4g=-120$$

Dividiu els dos costats per -4.

$$g=30$$

Substituïu 30 per g a f+g=40. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular f directament.

$$f+30=40$$

Resteu 30 als dos costats de l'equació.

$$f=10$$

El sistema ja funciona correctament.

$$f=10,g=30$$