Resol 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Resoleu x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Passos amb factorització per agrupació

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -15,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4x\left(x+15\right), el mínim comú múltiple de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4x+60 per 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliqueu 4 per 75 per obtenir 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliqueu 4 per \frac{1}{4} per obtenir 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x per x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combineu 300x i 15x per obtenir 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resteu 315x en tots dos costats.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combineu 300x i -315x per obtenir -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Torneu a ordenar el polinomi per posar-lo en forma estàndard. Poseu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Per resoldre l'equació, el factor de l'esquerra l'ha agrupat. Primer, cal tornar a escriure el costat esquerre de la mà a -x^{2}+ax+bx+4500. Per cercar a i b, configureu un sistema per resoldre.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Com que ab és negatiu, a i b tenen els signes oposats. Com que a+b és negatiu, el número negatiu té un valor més absolut que el positiu. Llista de totes les parelles d'enters que donen -4500 de producte.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calculeu la suma de cada parell.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

La solució és la parella que atorga -15 de suma.

$$a=60 b=-75$$

Reescriviu -x^{2}-15x+4500 com a \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

x al primer grup i 75 al segon grup.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Simplifiqueu el terme comú -x+60 mitjançant la propietat distributiva.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Per trobar solucions d'equació, resoleu -x+60=0 i x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -15,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4x\left(x+15\right), el mínim comú múltiple de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4x+60 per 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliqueu 4 per 75 per obtenir 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliqueu 4 per \frac{1}{4} per obtenir 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x per x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combineu 300x i 15x per obtenir 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resteu 315x en tots dos costats.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combineu 300x i -315x per obtenir -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Totes les equacions amb la fórmula ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre utilitzant la fórmula quadràtica següent: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula quadràtica ofereix dues solucions: una quan ± és una suma i una altra quan és una resta.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Aquesta equació es troba en una fórmula estàndard: ax^{2}+bx+c=0. Substituïu -1 per a, -15 per b i 4500 per c a la fórmula quadràtica \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Eleveu -15 al quadrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu 4 per 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Sumeu 225 i 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Calculeu l'arrel quadrada de 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

El contrari de -15 és 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multipliqueu 2 per -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{15±135}{-2} quan ± és més. Sumeu 15 i 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Dividiu 150 per -2.

$$x=-75$$

Ara resoleu l'equació x=\frac{15±135}{-2} quan ± és menys. Resteu 135 de 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Dividiu -120 per -2.

$$x=60$$

L'equació ja s'ha resolt.

$$x=-75 x=60$$

Passos per calcular el quadrat

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -15,0, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4x\left(x+15\right), el mínim comú múltiple de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4x+60 per 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliqueu 4 per 75 per obtenir 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multipliqueu 4 per \frac{1}{4} per obtenir 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x per x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combineu 300x i 15x per obtenir 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Resteu 315x en tots dos costats.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combineu 300x i -315x per obtenir -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Resteu x^{2} en tots dos costats.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Resteu 4500 en tots dos costats. Qualsevol valor restat a zero dóna com a resultat la seva negació.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Les equacions quadràtiques com aquesta es poden resoldre calculant-ne el quadrat. Per fer-ho, primer l'equació ha de tenir la forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Dividiu els dos costats per -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

En dividir per -1 es desfà la multiplicació per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Dividiu -15 per -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Dividiu -4500 per -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Dividiu 15, el coeficient del terme x, per 2 per obtenir \frac{15}{2}. A continuació, sumeu el quadrat del nombre \frac{15}{2} als dos costats de l'equació. Aquest pas fa que el costat esquerre de l'equació sigui un quadrat perfecte.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Per elevar \frac{15}{2} al quadrat, eleveu al quadrat el numerador i el denominador de la fracció.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Sumeu 4500 i \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Factor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. En general, quan x^{2}+bx+c és un quadrat perfecte, sempre es pot tenir en compte com \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Calculeu l'arrel quadrada als dos costats de l'equació.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Simplifiqueu.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Resteu \frac{15}{2} als dos costats de l'equació.

$$x=60 x=-75$$