Resol 7x/x-2-1/x^2-4

$$\frac { 7 x } { x - 2 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Calcula

$$\frac{7x^{2}+14x-1}{x^{2}-4}$$

Passos de solució senzills

Aïlleu la x^{2}-4.

$$\frac{7x}{x-2}-\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de x-2 i \left(x-2\right)\left(x+2\right) és \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multipliqueu \frac{7x}{x-2} per \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{7x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Com que \frac{7x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} i \frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} tenen el mateix denominador, resteu-los mitjançant la subtracció dels seus numeradors.

$$\frac{7x\left(x+2\right)-1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Feu les multiplicacions a 7x\left(x+2\right)-1.

$$\frac{7x^{2}+14x-1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

Expandiu \left(x-2\right)\left(x+2\right).

$$\frac{7x^{2}+14x-1}{x^{2}-4}$$

Diferencieu x

$$-\frac{2\left(7x^{2}+27x+28\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Passos per utilitzar la regla derivativa per al quocient

Aïlleu la x^{2}-4.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x}{x-2}-\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de x-2 i \left(x-2\right)\left(x+2\right) és \left(x-2\right)\left(x+2\right). Multipliqueu \frac{7x}{x-2} per \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Com que \frac{7x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} i \frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} tenen el mateix denominador, resteu-los mitjançant la subtracció dels seus numeradors.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x\left(x+2\right)-1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Feu les multiplicacions a 7x\left(x+2\right)-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x^{2}+14x-1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)})$$

Considereu \left(x-2\right)\left(x+2\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleveu 2 al quadrat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{7x^{2}+14x-1}{x^{2}-4})$$

Per a dues funcions diferenciables qualssevol, la derivada del quocient de dues funcions és el denominador multiplicat per la derivada del numerador menys el numerador multiplicat per la derivada del denominador, i tot dividit pel denominador al quadrat.

$$\frac{\left(x^{2}-4\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(7x^{2}+14x^{1}-1)-\left(7x^{2}+14x^{1}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-4)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

La derivada d'un polinomi és la suma de les derivades dels seus termes. La derivada d'un terme constant és 0. La derivada de ax^{n} és nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-4\right)\left(2\times 7x^{2-1}+14x^{1-1}\right)-\left(7x^{2}+14x^{1}-1\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{\left(x^{2}-4\right)\left(14x^{1}+14x^{0}\right)-\left(7x^{2}+14x^{1}-1\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Multipliqueu x^{2}-4 per 14x^{1}+14x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 14x^{1}+x^{2}\times 14x^{0}-4\times 14x^{1}-4\times 14x^{0}-\left(7x^{2}+14x^{1}-1\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Multipliqueu 7x^{2}+14x^{1}-1 per 2x^{1}.

$$\frac{x^{2}\times 14x^{1}+x^{2}\times 14x^{0}-4\times 14x^{1}-4\times 14x^{0}-\left(7x^{2}\times 2x^{1}+14x^{1}\times 2x^{1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Per multiplicar potències de la mateixa base, sumeu-ne els exponents.

$$\frac{14x^{2+1}+14x^{2}-4\times 14x^{1}-4\times 14x^{0}-\left(7\times 2x^{2+1}+14\times 2x^{1+1}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{14x^{3}+14x^{2}-56x^{1}-56x^{0}-\left(14x^{3}+28x^{2}-2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Combineu els termes iguals.

$$\frac{-14x^{2}-54x^{1}-56x^{0}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Per a qualsevol terme t, t^{1}=t.

$$\frac{-14x^{2}-54x-56x^{0}}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$

Per a qualsevol terme t excepte 0, t^{0}=1.

$$\frac{-14x^{2}-54x-56}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$$