Resol frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Resoleu k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Passos per utilitzar la fórmula quadràtica

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, el mínim comú múltiple de \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Per elevar una potència a una altra potència, multipliqueu-ne els exponents. Multipliqueu 2 i 2 per obtenir 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 6 per k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Per elevar una potència a una altra potència, multipliqueu-ne els exponents. Multipliqueu 2 i 2 per obtenir 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Per trobar l'oposat de 9k^{4}-6k^{2}+1, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combineu 6k^{4} i -9k^{4} per obtenir -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combineu 12k^{2} i 6k^{2} per obtenir 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Resteu 6 de 1 per obtenir 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 4 per -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Per elevar una potència a una altra potència, multipliqueu-ne els exponents. Multipliqueu 2 i 2 per obtenir 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 5 per 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Resteu 45k^{4} en tots dos costats.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Combineu -12k^{4} i -45k^{4} per obtenir -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Resteu 30k^{2} en tots dos costats.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Combineu 72k^{2} i -30k^{2} per obtenir 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Resteu 5 en tots dos costats.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Resteu 20 de 5 per obtenir 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Substitueix t per k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu -57 per a, 42 per b i 15 per c a la fórmula quadràtica.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Feu els càlculs.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Resoleu l'equació t=\frac{-42±72}{-114} considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Com que k=t^{2}, les solucions s'obtenen mitjançant l'avaluació de k=±\sqrt{t} per a t positiu.

$$k=1 k=-1$$