Resol frac{4+sqrt{5}}{4-sqrt{5}}+frac{4-sqrt{5}}{4+sqrt{5}}

$$\frac { 4 + \sqrt { 5 } } { 4 - \sqrt { 5 } } + \frac { 4 - \sqrt { 5 } } { 4 + \sqrt { 5 } }$$

Calcula

$$\frac{42}{11}\approx 3,818181818$$

Passos de solució senzills

Racionalitzeu el denominador de \frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} multiplicant el numerador i el denominador per 4+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Considereu \left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Eleveu 4 al quadrat. Eleveu \sqrt{5} al quadrat.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{16-5}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Resteu 16 de 5 per obtenir 11.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Multipliqueu 4+\sqrt{5} per 4+\sqrt{5} per obtenir \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{5} és 5.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+5}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Sumeu 16 més 5 per obtenir 21.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Racionalitzeu el denominador de \frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}} multiplicant el numerador i el denominador per 4-\sqrt{5}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}$$

Considereu \left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Eleveu 4 al quadrat. Eleveu \sqrt{5} al quadrat.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{16-5}$$

Resteu 16 de 5 per obtenir 11.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{11}$$

Multipliqueu 4-\sqrt{5} per 4-\sqrt{5} per obtenir \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{5} és 5.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+5}{11}$$

Sumeu 16 més 5 per obtenir 21.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{21-8\sqrt{5}}{11}$$

Com que \frac{21+8\sqrt{5}}{11} i \frac{21-8\sqrt{5}}{11} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$\frac{21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}}{11}$$

Feu el càlcul 21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}.

$$\frac{42}{11}$$

Factoritzar

$$\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{11} = 3\frac{9}{11} = 3,8181818181818183$$