Resol 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Resoleu x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Passos per utilitzar la substitució

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2.

$$3x+2y=22$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2.

$$2x+y=14$$

Per resoldre un parell d'equacions mitjançant la substitució, en primer lloc resoleu una de les equacions per a una de les variables. A continuació, substituïu el resultat per aquesta variable a l'altra equació.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Trieu una de les equacions i resoleu el valor x mitjançant l'aïllament del valor x al costat esquerre del signe igual.

$$3x+2y=22$$

Resteu 2y als dos costats de l'equació.

$$3x=-2y+22$$

Dividiu els dos costats per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Multipliqueu \frac{1}{3} per -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Substituïu \frac{-2y+22}{3} per x a l'altra equació, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Multipliqueu 2 per \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Sumeu -\frac{4y}{3} i y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Resteu \frac{44}{3} als dos costats de l'equació.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Multipliqueu els dos costats per -3.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Multipliqueu -\frac{2}{3} per 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Sumeu \frac{22}{3} i -\frac{4}{3} trobant un denominador comú i sumant-ne els numeradors. A continuació, reduïu la fracció al màxim sempre que sigui possible.

$$x=6$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=6,y=2$$

Passos per utilitzar l'amplificació per menors

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2.

$$3x+2y=22$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2.

$$2x+y=14$$

Poseu les equacions en forma estàndard i feu servir matrius per resoldre el sistema d'equacions.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Escriviu les equacions en forma de matriu.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu la part esquerra de l'equació per la matriu inversa de la matriu \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

El producte d'una matriu i la seva inversa és la matriu d'identitat.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius del costat esquerre del signe igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

La matriu inversa de la matriu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) és \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), per tant, l’equació matricial es pot reescriure com un problema de multiplicació de matriu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multipliqueu les matrius.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Feu l'aritmètica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Extraieu els elements de la matriu x i y.

$$x=6,y=2$$

Passos per utilitzar l'eliminació

Fixeu-vos en la primera equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2.

$$3x+2y=22$$

Fixeu-vos en la segona equació. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2.

$$2x+y=14$$

Per tal de calcular per eliminació, els coeficients d'una de les variables han de ser els mateixos a les dues equacions per tal que la variable s'anul·li quan una equació es resti de l'altra.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Per igualar 3x i 2x, multipliqueu tots els termes de cada costat de la primera equació per 2 i tots els termes de cada costat de la segona per 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Simplifiqueu.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Resteu 6x+3y=42 de 6x+4y=44 mitjançant la resta de termes iguals en cada costat del signe igual.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Sumeu 6x i -6x. Els termes 6x i -6x s'anul·len, allò que deixa una equació només amb una variable que es pot resoldre.

$$4y-3y=44-42$$

Sumeu 4y i -3y.

$$y=44-42$$

Sumeu 44 i -42.

$$y=2$$

Substituïu 2 per y a 2x+y=14. Com que l'equació resultant només conté una variable, podeu calcular x directament.

$$2x+2=14$$

Resteu 2 als dos costats de l'equació.

$$2x=12$$

Dividiu els dos costats per 2.

$$x=6$$

El sistema ja funciona correctament.

$$x=6,y=2$$