Resol 2/x+3-1/x^2+7x+12

$$\frac { 2 } { x + 3 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 12 }$$

Calcula

$$\frac{2x+7}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$$

Passos de solució senzills

Aïlleu la x^{2}+7x+12.

$$\frac{2}{x+3}-\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de x+3 i \left(x+3\right)\left(x+4\right) és \left(x+3\right)\left(x+4\right). Multipliqueu \frac{2}{x+3} per \frac{x+4}{x+4}.

$$\frac{2\left(x+4\right)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}-\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$$

Com que \frac{2\left(x+4\right)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)} i \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)} tenen el mateix denominador, resteu-los mitjançant la subtracció dels seus numeradors.

$$\frac{2\left(x+4\right)-1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$$

Feu les multiplicacions a 2\left(x+4\right)-1.

$$\frac{2x+8-1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$$

Combineu els termes similars de 2x+8-1.

$$\frac{2x+7}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}$$

Expandiu \left(x+3\right)\left(x+4\right).

$$\frac{2x+7}{x^{2}+7x+12}$$

Diferencieu x

$$-\frac{2x^{2}+14x+25}{\left(\left(x+3\right)\left(x+4\right)\right)^{2}}$$

Passos per utilitzar la regla derivativa per al quocient

Aïlleu la x^{2}+7x+12.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2}{x+3}-\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)})$$

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de x+3 i \left(x+3\right)\left(x+4\right) és \left(x+3\right)\left(x+4\right). Multipliqueu \frac{2}{x+3} per \frac{x+4}{x+4}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+4\right)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}-\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)})$$

Com que \frac{2\left(x+4\right)}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)} i \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)} tenen el mateix denominador, resteu-los mitjançant la subtracció dels seus numeradors.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+4\right)-1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)})$$

Feu les multiplicacions a 2\left(x+4\right)-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+8-1}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)})$$

Combineu els termes similars de 2x+8-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+7}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)})$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar x+3 per x+4 i combinar-los com termes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+7}{x^{2}+7x+12})$$

Per a dues funcions diferenciables qualssevol, la derivada del quocient de dues funcions és el denominador multiplicat per la derivada del numerador menys el numerador multiplicat per la derivada del denominador, i tot dividit pel denominador al quadrat.

$$\frac{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{1}+7)-\left(2x^{1}+7\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+7x^{1}+12)}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

La derivada d'un polinomi és la suma de les derivades dels seus termes. La derivada d'un terme constant és 0. La derivada de ax^{n} és nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)\times 2x^{1-1}-\left(2x^{1}+7\right)\left(2x^{2-1}+7x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)\times 2x^{0}-\left(2x^{1}+7\right)\left(2x^{1}+7x^{0}\right)}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

Multipliqueu x^{2}+7x^{1}+12 per 2x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{0}+7x^{1}\times 2x^{0}+12\times 2x^{0}-\left(2x^{1}+7\right)\left(2x^{1}+7x^{0}\right)}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

Multipliqueu 2x^{1}+7 per 2x^{1}+7x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 2x^{0}+7x^{1}\times 2x^{0}+12\times 2x^{0}-\left(2x^{1}\times 2x^{1}+2x^{1}\times 7x^{0}+7\times 2x^{1}+7\times 7x^{0}\right)}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

Per multiplicar potències de la mateixa base, sumeu-ne els exponents.

$$\frac{2x^{2}+7\times 2x^{1}+12\times 2x^{0}-\left(2\times 2x^{1+1}+2\times 7x^{1}+7\times 2x^{1}+7\times 7x^{0}\right)}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{2x^{2}+14x^{1}+24x^{0}-\left(4x^{2}+14x^{1}+14x^{1}+49x^{0}\right)}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

Combineu els termes iguals.

$$\frac{-2x^{2}-14x^{1}-25x^{0}}{\left(x^{2}+7x^{1}+12\right)^{2}}$$

Per a qualsevol terme t, t^{1}=t.

$$\frac{-2x^{2}-14x-25x^{0}}{\left(x^{2}+7x+12\right)^{2}}$$

Per a qualsevol terme t excepte 0, t^{0}=1.

$$\frac{-2x^{2}-14x-25}{\left(x^{2}+7x+12\right)^{2}}$$