Resol frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Calcula

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} multiplicant el numerador i el denominador per 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Considereu \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Eleveu 2 al quadrat. Eleveu \sqrt{5} al quadrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Resteu 4 de 5 per obtenir -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Multipliqueu 2+\sqrt{5} per 2+\sqrt{5} per obtenir \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{5} és 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Sumeu 4 més 5 per obtenir 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Qualsevol nombre dividit per -1 dona el seu contrari. Per trobar l'oposat de 9+4\sqrt{5}, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$-9-4\sqrt{5}$$