Resol frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Resoleu b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Passos per resoldre una equació lineal

Racionalitzeu el denominador de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Considereu \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Eleveu 2 al quadrat. Eleveu \sqrt{3} al quadrat.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Resteu 4 de 3 per obtenir 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Qualsevol quantitat dividida entre u és igual a si mateixa.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Multipliqueu 2+\sqrt{3} per 2+\sqrt{3} per obtenir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Sumeu 4 més 3 per obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Intercanvieu els costats perquè tots els termes variables estiguin al costat esquerre.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Resteu a en tots dos costats.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

L'equació té la forma estàndard.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Dividiu els dos costats per \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

En dividir per \sqrt{3} es desfà la multiplicació per \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Dividiu 4\sqrt{3}-a+7 per \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Resoleu a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$