Resol 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Resoleu x

$$x=-1$$

Passos de solució

La variable x no pot ser igual a cap dels valors -8,-5,-2,1, ja que la divisió per zero no s'ha definit. Multipliqueu els dos costats de l'equació per 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), el mínim comú múltiple de x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 21 per x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 21x+105 per x+8 i combinar-los com termes.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 21 per x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 21x-21 per x+8 i combinar-los com termes.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combineu 21x^{2} i 21x^{2} per obtenir 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combineu 273x i 147x per obtenir 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Resteu 840 de 168 per obtenir 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 21 per x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 21x+42 per x-1 i combinar-los com termes.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combineu 42x^{2} i 21x^{2} per obtenir 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combineu 420x i 21x per obtenir 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Resteu 672 de 42 per obtenir 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 7 per x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 7x+14 per x+5 i combinar-los com termes.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 7x^{2}+49x+70 per x+8 i combinar-los com termes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Multipliqueu 21 per -\frac{1}{21} per obtenir -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -1 per x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -x+1 per x+2 i combinar-los com termes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -x^{2}-x+2 per x+5 i combinar-los com termes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar -x^{3}-6x^{2}-3x+10 per x+8 i combinar-los com termes.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Combineu 7x^{3} i -14x^{3} per obtenir -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Combineu 105x^{2} i -51x^{2} per obtenir 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Combineu 462x i -14x per obtenir 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Sumeu 560 més 80 per obtenir 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Afegiu 7x^{3} als dos costats.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Resteu 54x^{2} en tots dos costats.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Combineu 63x^{2} i -54x^{2} per obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Resteu 448x en tots dos costats.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Combineu 441x i -448x per obtenir -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Resteu 640 en tots dos costats.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Resteu 630 de 640 per obtenir -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Afegiu x^{4} als dos costats.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Torneu a ordenar l'equació per posar-la en forma estàndard. Situeu els termes en ordre, de la potència més gran a la més petita.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el -10 terme constant i q divideix el coeficient principal 1. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=1$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 entre x-1 per obtenir x^{3}+8x^{2}+17x+10. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Per teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals d'un polinomi són de la forma \frac{p}{q}, on p divideix el 10 terme constant i q divideix el coeficient principal 1. Llista de tots els candidats \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Per cercar una d'aquestes arrels, proveu tots els valors enters, començant pel més petit, per valor absolut. Si no es troba cap arrel d'enter, proveu les fraccions.

$$x=-1$$

Per teorema de factors, x-k és un factor del polinomi per a cada k arrel. Dividiu x^{3}+8x^{2}+17x+10 entre x+1 per obtenir x^{2}+7x+10. Resoleu l'equació on el resultat és igual a 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Totes les equacions amb el format ax^{2}+bx+c=0 es poden resoldre mitjançant la fórmula quadràtica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substituïu 1 per a, 7 per b i 10 per c a la fórmula quadràtica.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Feu els càlculs.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Resoleu l'equació x^{2}+7x+10=0 considerant que ± és el signe més i ± és el signe menys.

$$x=-5 x=-2$$

Suprimeix els valors als quals la variable no pot ser igual.

$$x=-1$$

Llista de totes les solucions trobades.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

La variable x no pot ser igual a cap dels valors 1,-5,-2.

$$x=-1$$