Resol 1/x+2+5/x-1

$$\frac { 1 } { x + 2 } + \frac { 5 } { x - 1 }$$

Calcula

$$\frac{3\left(2x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Passos de solució senzills

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de x+2 i x-1 és \left(x-1\right)\left(x+2\right). Multipliqueu \frac{1}{x+2} per \frac{x-1}{x-1}. Multipliqueu \frac{5}{x-1} per \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+\frac{5\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Com que \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} i \frac{5\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$\frac{x-1+5\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Feu les multiplicacions a x-1+5\left(x+2\right).

$$\frac{x-1+5x+10}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Combineu els termes similars de x-1+5x+10.

$$\frac{6x+9}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$$

Expandiu \left(x-1\right)\left(x+2\right).

$$\frac{6x+9}{x^{2}+x-2}$$

Diferencieu x

$$-\frac{3\left(2x^{2}+6x+7\right)}{\left(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right)^{2}}$$

Passos per utilitzar la regla derivativa per al quocient

Per afegir o restar les expressions, amplieu-les perquè els denominadors coincideixin. El mínim comú múltiple de x+2 i x-1 és \left(x-1\right)\left(x+2\right). Multipliqueu \frac{1}{x+2} per \frac{x-1}{x-1}. Multipliqueu \frac{5}{x-1} per \frac{x+2}{x+2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}+\frac{5\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Com que \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} i \frac{5\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)} tenen el mateix denominador, afegiu-los mitjançant l'addició dels seus numeradors.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-1+5\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Feu les multiplicacions a x-1+5\left(x+2\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-1+5x+10}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Combineu els termes similars de x-1+5x+10.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x+9}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)})$$

Per aplicar la propietat distributiva, cal multiplicar cada terme de l'operació x-1 per cada terme de l'operació x+2.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x+9}{x^{2}+2x-x-2})$$

Combineu 2x i -x per obtenir x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{6x+9}{x^{2}+x-2})$$

Per a dues funcions diferenciables qualssevol, la derivada del quocient de dues funcions és el denominador multiplicat per la derivada del numerador menys el numerador multiplicat per la derivada del denominador, i tot dividit pel denominador al quadrat.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(6x^{1}+9)-\left(6x^{1}+9\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+x^{1}-2)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

La derivada d'un polinomi és la suma de les derivades dels seus termes. La derivada d'un terme constant és 0. La derivada de ax^{n} és nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)\times 6x^{1-1}-\left(6x^{1}+9\right)\left(2x^{2-1}+x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)\times 6x^{0}-\left(6x^{1}+9\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Multipliqueu x^{2}+x^{1}-2 per 6x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}+x^{1}\times 6x^{0}-2\times 6x^{0}-\left(6x^{1}+9\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Multipliqueu 6x^{1}+9 per 2x^{1}+x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 6x^{0}+x^{1}\times 6x^{0}-2\times 6x^{0}-\left(6x^{1}\times 2x^{1}+6x^{1}x^{0}+9\times 2x^{1}+9x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Per multiplicar potències de la mateixa base, sumeu-ne els exponents.

$$\frac{6x^{2}+6x^{1}-2\times 6x^{0}-\left(6\times 2x^{1+1}+6x^{1}+9\times 2x^{1}+9x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Simplifiqueu.

$$\frac{6x^{2}+6x^{1}-12x^{0}-\left(12x^{2}+6x^{1}+18x^{1}+9x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Combineu els termes iguals.

$$\frac{-6x^{2}-18x^{1}-21x^{0}}{\left(x^{2}+x^{1}-2\right)^{2}}$$

Per a qualsevol terme t, t^{1}=t.

$$\frac{-6x^{2}-18x-21x^{0}}{\left(x^{2}+x-2\right)^{2}}$$

Per a qualsevol terme t excepte 0, t^{0}=1.

$$\frac{-6x^{2}-18x-21}{\left(x^{2}+x-2\right)^{2}}$$