Resol frac{-2sqrt{3}+i}{1+2sqrt{3}i}

$$\frac { - 2 \sqrt { 3 } + i } { 1 + 2 \sqrt { 3 } i }$$

Calcula

$$i$$

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2i\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per 1-2i\sqrt{3}.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{\left(1+2i\sqrt{3}\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}$$

Considereu \left(1+2i\sqrt{3}\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(2i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculeu 1 elevat a 2 per obtenir 1.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(2i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Expandiu \left(2i\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(2i\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculeu 2i elevat a 2 per obtenir -4.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-4\times 3\right)}$$

Multipliqueu -4 per 3 per obtenir -12.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-12\right)}$$

Multipliqueu -1 per -12 per obtenir 12.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1+12}$$

Sumeu 1 més 12 per obtenir 13.

$$\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{13}$$

Per aplicar la propietat distributiva, cal multiplicar cada terme de l'operació -2\sqrt{3}+i per cada terme de l'operació 1-2i\sqrt{3}.

$$\frac{-2\sqrt{3}+4i\left(\sqrt{3}\right)^{2}+i+2\sqrt{3}}{13}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$\frac{-2\sqrt{3}+4i\times 3+i+2\sqrt{3}}{13}$$

Multipliqueu 4i per 3 per obtenir 12i.

$$\frac{-2\sqrt{3}+12i+i+2\sqrt{3}}{13}$$

Sumeu 12i més i per obtenir 13i.

$$\frac{-2\sqrt{3}+13i+2\sqrt{3}}{13}$$

Combineu -2\sqrt{3} i 2\sqrt{3} per obtenir 0.

$$\frac{13i}{13}$$

Dividiu 13i entre 13 per obtenir i.

$$i$$

Part real

$$0$$

Passos de solució

Racionalitzeu el denominador de \frac{-2\sqrt{3}+i}{1+2i\sqrt{3}} multiplicant el numerador i el denominador per 1-2i\sqrt{3}.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{\left(1+2i\sqrt{3}\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)})$$

Considereu \left(1+2i\sqrt{3}\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(2i\sqrt{3}\right)^{2}})$$

Calculeu 1 elevat a 2 per obtenir 1.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(2i\sqrt{3}\right)^{2}})$$

Expandiu \left(2i\sqrt{3}\right)^{2}.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(2i\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}})$$

Calculeu 2i elevat a 2 per obtenir -4.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)})$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-4\times 3\right)})$$

Multipliqueu -4 per 3 per obtenir -12.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-12\right)})$$

Multipliqueu -1 per -12 per obtenir 12.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{1+12})$$

Sumeu 1 més 12 per obtenir 13.

$$Re(\frac{\left(-2\sqrt{3}+i\right)\left(1-2i\sqrt{3}\right)}{13})$$

Per aplicar la propietat distributiva, cal multiplicar cada terme de l'operació -2\sqrt{3}+i per cada terme de l'operació 1-2i\sqrt{3}.

$$Re(\frac{-2\sqrt{3}+4i\left(\sqrt{3}\right)^{2}+i+2\sqrt{3}}{13})$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$Re(\frac{-2\sqrt{3}+4i\times 3+i+2\sqrt{3}}{13})$$

Multipliqueu 4i per 3 per obtenir 12i.

$$Re(\frac{-2\sqrt{3}+12i+i+2\sqrt{3}}{13})$$

Sumeu 12i més i per obtenir 13i.

$$Re(\frac{-2\sqrt{3}+13i+2\sqrt{3}}{13})$$

Combineu -2\sqrt{3} i 2\sqrt{3} per obtenir 0.

$$Re(\frac{13i}{13})$$

Dividiu 13i entre 13 per obtenir i.

$$Re(i)$$

La part real de i és 0.

$$0$$