Resol (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

Resoleu a

$$a\leq 1$$

Passos de solució

Multipliqueu els dos costats de l'equació per 2. Com que 2 és positiu, la direcció de desigualtat segueix sent la mateixa.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(2a-5\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(a-3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

Per trobar l'oposat de a^{2}-6a+9, cerqueu l'oposat de cada terme.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilitzeu la propietat distributiva per multiplicar 2 per \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Expresseu 2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} com a fracció senzilla.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Anul·leu 2 i 2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Combineu 4a^{2} i -2a^{2} per obtenir 2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Combineu -20a i 12a per obtenir -8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

Resteu 25 de 18 per obtenir 7.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

Sumeu 7 més 1 per obtenir 8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

Resteu 2a^{2} en tots dos costats.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

Combineu 2a^{2} i -2a^{2} per obtenir 0.

$$-8a+8\geq 0$$

Resteu 8 en tots dos costats. Qualsevol valor restat a zero dóna com a resultat la seva negació.

$$-8a\geq -8$$

Dividiu els dos costats per -8. Com que -8 és negatiu, es canvia la direcció de la desigualtat.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

Dividiu -8 entre -8 per obtenir 1.

$$a\leq 1$$