Resol frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Resoleu b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Passos per resoldre una equació lineal

Racionalitzeu el denominador de \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} multiplicant el numerador i el denominador per \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Considereu \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). La multiplicació es pot transformar en una diferència de quadrats fent servir la regla: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Eleveu \sqrt{3} al quadrat. Eleveu 1 al quadrat.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Resteu 3 de 1 per obtenir 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Multipliqueu \sqrt{3}-1 per \sqrt{3}-1 per obtenir \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Utilitzeu el teorema del binomi \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per desenvolupar \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

L'arrel quadrada de \sqrt{3} és 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Sumeu 3 més 1 per obtenir 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Dividiu cada terme de 4-2\sqrt{3} entre 2 per obtenir 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Intercanvieu els costats perquè tots els termes variables estiguin al costat esquerre.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Resteu a en tots dos costats.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

L'equació té la forma estàndard.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Dividiu els dos costats per \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

En dividir per \sqrt{3} es desfà la multiplicació per \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dividiu -\sqrt{3}-a+2 per \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Resoleu a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$