Riješi z^2-iz-1=0

$$z ^ { 2 } - i z - 1 = 0$$

Riješite za z

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx 0,866025404+0,5i$$

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx -0,866025404+0,5i$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -i i b, kao i -1 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{i±\sqrt{\left(-i\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -i.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -1.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1+4}}{2}$$

Saberite -1 i 4.

$$z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} kada je ± plus. Saberite i i \sqrt{3}.

$$z=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Podijelite i+\sqrt{3} sa 2.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Sada riješite jednačinu z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} kada je ± minus. Oduzmite \sqrt{3} od i.

$$z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$$

Podijelite i-\sqrt{3} sa 2.

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Jednačina je riješena.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$z^{2}-iz-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Oduzimanjem -1 od samog sebe ostaje 0.

$$z^{2}-iz=-\left(-1\right)$$

Oduzmite -1 od 0.

$$z^{2}-iz=1$$

Podijelite -i, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}i. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2}i na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$z^{2}-iz+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2}i.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$$

Saberite 1 i -\frac{1}{4}.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor z^{2}-iz-\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Pojednostavite.

$$z-\frac{1}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2} z-\frac{1}{2}i=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2}i na obje strane jednačine.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$