Riješi y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Riješite za y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-3x=2$$

Dodajte 3x na obje strane jednačine.

$$y=3x+2$$

Zamijenite 3x+2 za y u drugoj jednačini, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Pomnožite -2 i 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Saberite -6x i 7x.

$$x-4=8$$

Dodajte 4 na obje strane jednačine.

$$x=12$$

Zamijenite 12 za x u y=3x+2. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=3\times 12+2$$

Pomnožite 3 i 12.

$$y=36+2$$

Saberite 2 i 36.

$$y=38$$

Sistem je riješen.

$$y=38,x=12$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=38,x=12$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Da bi y i -2y bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -2 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Pojednostavite.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Oduzmite -2y+7x=8 od -2y+6x=-4 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Saberite -2y i 2y. Izrazi -2y i 2y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$6x-7x=-4-8$$

Saberite 6x i -7x.

$$-x=-4-8$$

Saberite -4 i -8.

$$-x=-12$$

Podijelite obje strane s -1.

$$x=12$$

Zamijenite 12 za x u -2y+7x=8. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Pomnožite 7 i 12.

$$-2y+84=8$$

Oduzmite 84 s obje strane jednačine.

$$-2y=-76$$

Podijelite obje strane s -2.

$$y=38$$

Sistem je riješen.

$$y=38,x=12$$