Riješi y^2-90=13y

$$y ^ { 2 } - 90 = 13 y$$

Riješite za y

$$y=-5$$

$$y=18$$

Koraci koji koriste faktoring

Oduzmite 13y s obje strane.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$y^{2}-13y-90=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite y^{2}-13y-90 koristeći formulu y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=-90$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-18 b=5$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(y+a\right)\left(y+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(y-18\right)\left(y+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-18=0 i y+5=0.

$$y=18 y=-5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 13y s obje strane.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Prerasporedite jednačinu da biste je stavili u standardni oblik. Postavite termine redoslijedom od najvišeg do najnižeg stepena.

$$y^{2}-13y-90=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao y^{2}+ay+by-90. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=1\left(-90\right)=-90$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-18 b=5$$

Ponovo napišite y^{2}-13y-90 kao \left(y^{2}-18y\right)+\left(5y-90\right).

$$\left(y^{2}-18y\right)+\left(5y-90\right)$$

Isključite y u prvoj i 5 drugoj grupi.

$$y\left(y-18\right)+5\left(y-18\right)$$

Izdvojite obični izraz y-18 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(y-18\right)\left(y+5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-18=0 i y+5=0.

$$y=18 y=-5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Oduzmite 13y s obje strane.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$y^{2}-13y-90=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -13 i b, kao i -90 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-90\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -13.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-90\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -90.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+360}}{2}$$

Saberite 169 i 360.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{529}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 529.

$$y=\frac{-\left(-13\right)±23}{2}$$

Opozit broja -13 je 13.

$$y=\frac{13±23}{2}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{13±23}{2} kada je ± plus. Saberite 13 i 23.

$$y=\frac{36}{2}$$

Podijelite 36 sa 2.

$$y=18$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{13±23}{2} kada je ± minus. Oduzmite 23 od 13.

$$y=-\frac{10}{2}$$

Podijelite -10 sa 2.

$$y=-5$$

Jednačina je riješena.

$$y=18 y=-5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Oduzmite 13y s obje strane.

$$y^{2}-90-13y=0$$

Dodajte 90 na obje strane. Bilo šta plus nula daje sebe.

$$y^{2}-13y=90$$

Podijelite -13, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{13}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{13}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-13y+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=90+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{13}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}-13y+\frac{169}{4}=90+\frac{169}{4}$$

Saberite 90 i \frac{169}{4}.

$$y^{2}-13y+\frac{169}{4}=\frac{529}{4}$$

Faktor y^{2}-13y+\frac{169}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Pojednostavite.

$$y-\frac{13}{2}=\frac{23}{2} y-\frac{13}{2}=-\frac{23}{2}$$

Dodajte \frac{13}{2} na obje strane jednačine.

$$y=18 y=-5$$