Riješi y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Riješite za y

$$y=2$$

$$y=15$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite y^{2}-17y+30 koristeći formulu y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-17 ab=30$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -17.

$$a=-15 b=-2$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(y+a\right)\left(y+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-15=0 i y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao y^{2}+ay+by+30. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -17.

$$a=-15 b=-2$$

Ponovo napišite y^{2}-17y+30 kao \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Isključite y u prvoj i -2 drugoj grupi.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Izdvojite obični izraz y-15 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite y-15=0 i y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -17 i b, kao i 30 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Pomnožite -4 i 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Saberite 289 i -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Opozit broja -17 je 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{17±13}{2} kada je ± plus. Saberite 17 i 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Podijelite 30 sa 2.

$$y=15$$

Sada riješite jednačinu y=\frac{17±13}{2} kada je ± minus. Oduzmite 13 od 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Podijelite 4 sa 2.

$$y=2$$

Jednačina je riješena.

$$y=15 y=2$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Oduzmite 30 s obje strane jednačine.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Oduzimanjem 30 od samog sebe ostaje 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Podijelite -17, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{17}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{17}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{17}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Saberite -30 i \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor y^{2}-17y+\frac{289}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Pojednostavite.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodajte \frac{17}{2} na obje strane jednačine.

$$y=15 y=2$$