Riješi y=5x-43text{and}3x+5y=9

$$y = 5 x - 43 \text { and } 3 x + 5 y = 9$$

Riješite za y, x

$$x=8$$

$$y=-3$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 5x s obje strane.

$$y-5x=-43$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-5x=-43$$

Dodajte 5x na obje strane jednačine.

$$y=5x-43$$

Zamijenite 5x-43 za y u drugoj jednačini, 5y+3x=9.

$$5\left(5x-43\right)+3x=9$$

Pomnožite 5 i 5x-43.

$$25x-215+3x=9$$

Saberite 25x i 3x.

$$28x-215=9$$

Dodajte 215 na obje strane jednačine.

$$28x=224$$

Podijelite obje strane s 28.

$$x=8$$

Zamijenite 8 za x u y=5x-43. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=5\times 8-43$$

Pomnožite 5 i 8.

$$y=40-43$$

Saberite -43 i 40.

$$y=-3$$

Sistem je riješen.

$$y=-3,x=8$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 5x s obje strane.

$$y-5x=-43$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\times 5\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-5\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}&\frac{5}{28}\\-\frac{5}{28}&\frac{1}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-43\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{28}\left(-43\right)+\frac{5}{28}\times 9\\-\frac{5}{28}\left(-43\right)+\frac{1}{28}\times 9\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\8\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=-3,x=8$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 5x s obje strane.

$$y-5x=-43$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-5x=-43,5y+3x=9$$

Da bi y i 5y bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 5 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$5y+5\left(-5\right)x=5\left(-43\right),5y+3x=9$$

Pojednostavite.

$$5y-25x=-215,5y+3x=9$$

Oduzmite 5y+3x=9 od 5y-25x=-215 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$5y-5y-25x-3x=-215-9$$

Saberite 5y i -5y. Izrazi 5y i -5y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-25x-3x=-215-9$$

Saberite -25x i -3x.

$$-28x=-215-9$$

Saberite -215 i -9.

$$-28x=-224$$

Podijelite obje strane s -28.

$$x=8$$

Zamijenite 8 za x u 5y+3x=9. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$5y+3\times 8=9$$

Pomnožite 3 i 8.

$$5y+24=9$$

Oduzmite 24 s obje strane jednačine.

$$5y=-15$$

Podijelite obje strane s 5.

$$y=-3$$

Sistem je riješen.

$$y=-3,x=8$$