Riješi y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Riješite za y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 2x s obje strane.

$$y-2x=-1$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-2x=-1$$

Dodajte 2x na obje strane jednačine.

$$y=2x-1$$

Zamijenite 2x-1 za y u drugoj jednačini, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Saberite 2x i 2x.

$$4x-1=3$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$4x=4$$

Podijelite obje strane s 4.

$$x=1$$

Zamijenite 1 za x u y=2x-1. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=2-1$$

Saberite -1 i 2.

$$y=1$$

Sistem je riješen.

$$y=1,x=1$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 2x s obje strane.

$$y-2x=-1$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=1,x=1$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 2x s obje strane.

$$y-2x=-1$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Oduzmite y+2x=3 od y-2x=-1 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-2x-2x=-1-3$$

Saberite -2x i -2x.

$$-4x=-1-3$$

Saberite -1 i -3.

$$-4x=-4$$

Podijelite obje strane s -4.

$$x=1$$

Zamijenite 1 za x u y+2x=3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y+2=3$$

Oduzmite 2 s obje strane jednačine.

$$y=1$$

Sistem je riješen.

$$y=1,x=1$$