Riješi y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Riješite za y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 2x s obje strane.

$$y-2x=1$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-2x=1$$

Dodajte 2x na obje strane jednačine.

$$y=2x+1$$

Zamijenite 2x+1 za y u drugoj jednačini, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Saberite 2x i x.

$$3x+1=7$$

Oduzmite 1 s obje strane jednačine.

$$3x=6$$

Podijelite obje strane s 3.

$$x=2$$

Zamijenite 2 za x u y=2x+1. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=2\times 2+1$$

Pomnožite 2 i 2.

$$y=4+1$$

Saberite 1 i 4.

$$y=5$$

Sistem je riješen.

$$y=5,x=2$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 2x s obje strane.

$$y-2x=1$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=5,x=2$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite 2x s obje strane.

$$y-2x=1$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Oduzmite y+x=7 od y-2x=1 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-2x-x=1-7$$

Saberite -2x i -x.

$$-3x=1-7$$

Saberite 1 i -7.

$$-3x=-6$$

Podijelite obje strane s -3.

$$x=2$$

Zamijenite 2 za x u y+x=7. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y+2=7$$

Oduzmite 2 s obje strane jednačine.

$$y=5$$

Sistem je riješen.

$$y=5,x=2$$