Riješi y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Riješite za y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Koraci pomoću zamjene

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite \frac{1}{3}x s obje strane.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 3x na obje strane.

$$y+3x=60$$

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za y tako što ćete izdvojiti y na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Dodajte \frac{x}{3} na obje strane jednačine.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Zamijenite \frac{x}{3} za y u drugoj jednačini, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Saberite \frac{x}{3} i 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Podijelite obje strane jednačine sa \frac{10}{3}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$x=18$$

Zamijenite 18 za x u y=\frac{1}{3}x. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Pomnožite \frac{1}{3} i 18.

$$y=6$$

Sistem je riješen.

$$y=6,x=18$$

Koraci pomoću matrica

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite \frac{1}{3}x s obje strane.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 3x na obje strane.

$$y+3x=60$$

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice y i x.

$$y=6,x=18$$

Koraci pomoću eliminacije

Pojednostavite prvu jednačinu. Oduzmite \frac{1}{3}x s obje strane.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Pojednostavite drugu jednačinu. Dodajte 3x na obje strane.

$$y+3x=60$$

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Oduzmite y+3x=60 od y-\frac{1}{3}x=0 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Saberite y i -y. Izrazi y i -y se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Saberite -\frac{x}{3} i -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Podijelite obje strane jednačine sa -\frac{10}{3}, što je isto kao množenje obje strane recipročnom vrijednošću razlomka.

$$x=18$$

Zamijenite 18 za x u y+3x=60. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za y.

$$y+3\times 18=60$$

Pomnožite 3 i 18.

$$y+54=60$$

Oduzmite 54 s obje strane jednačine.

$$y=6$$

Sistem je riješen.

$$y=6,x=18$$