Riješi x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Riješite za x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x-y=5$$

Dodajte y na obje strane jednačine.

$$x=y+5$$

Zamijenite y+5 za x u drugoj jednačini, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Pomnožite -4 i y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Saberite -4y i 5y.

$$y-20=7$$

Dodajte 20 na obje strane jednačine.

$$y=27$$

Zamijenite 27 za y u x=y+5. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=27+5$$

Saberite 5 i 27.

$$x=32$$

Sistem je riješen.

$$x=32,y=27$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=32,y=27$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Da bi x i -4x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa -4 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Pojednostavite.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Oduzmite -4x+5y=7 od -4x+4y=-20 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Saberite -4x i 4x. Izrazi -4x i 4x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$4y-5y=-20-7$$

Saberite 4y i -5y.

$$-y=-20-7$$

Saberite -20 i -7.

$$-y=-27$$

Podijelite obje strane s -1.

$$y=27$$

Zamijenite 27 za y u -4x+5y=7. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$-4x+5\times 27=7$$

Pomnožite 5 i 27.

$$-4x+135=7$$

Oduzmite 135 s obje strane jednačine.

$$-4x=-128$$

Podijelite obje strane s -4.

$$x=32$$

Sistem je riješen.

$$x=32,y=27$$