Riješi x-y=3text{and}2x+y=3

$$x - y = 3 \text { and } 2 x + y = 3$$

Riješite za x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Koraci pomoću zamjene

Da biste riješili par jednačina pomoću zamjene, prvo riješite jednu od jednačina za jednu od promjenlјivih. Zatim zamijenite rezultat za tu promjenlјivu u drugoj jednačini.

$$x-y=3,2x+y=3$$

Odaberite jednu od jednačina i riješite je za x tako što ćete izdvojiti x na lijevoj strani znaka jednakosti.

$$x-y=3$$

Dodajte y na obje strane jednačine.

$$x=y+3$$

Zamijenite y+3 za x u drugoj jednačini, 2x+y=3.

$$2\left(y+3\right)+y=3$$

Pomnožite 2 i y+3.

$$2y+6+y=3$$

Saberite 2y i y.

$$3y+6=3$$

Oduzmite 6 s obje strane jednačine.

$$3y=-3$$

Podijelite obje strane s 3.

$$y=-1$$

Zamijenite -1 za y u x=y+3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$x=-1+3$$

Saberite 3 i -1.

$$x=2$$

Sistem je riješen.

$$x=2,y=-1$$

Koraci pomoću matrica

Stavite jednačine u standardni oblik, a zatim koristite matrice da biste riješili sistem jednačina.

$$x-y=3,2x+y=3$$

Napišite jednačinu u obliku matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite jednačinu s lijeve strane inverznom matricom \left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Umnožak matrice i njena inverza je jedinična matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice s lijeve strane znaka jednakosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Za matricu 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), inverzna matrica je \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pa se jednačina matrice može ponovo napisati kao problem množenja matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 3\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Izvršite aritmetičku operaciju.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Izdvojite elemente matrice x i y.

$$x=2,y=-1$$

Koraci pomoću eliminacije

Da bi se riješilo putem eliminacije, koeficijenti jedne od promjenlјivih moraju biti isti u obje jednačine kako bi promjenlјiva bila izbačena kada se jedna jednačina oduzme od druge.

$$x-y=3,2x+y=3$$

Da bi x i 2x bili jednaki, pomnožite sve termine na svakoj strani prve jednačine sa 2 i sve termine na svakoj strani druge jednačine sa 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 3,2x+y=3$$

Pojednostavite.

$$2x-2y=6,2x+y=3$$

Oduzmite 2x+y=3 od 2x-2y=6 tako što ćete oduzeti slične termine na svakoj strani znaka jednakosti.

$$2x-2x-2y-y=6-3$$

Saberite 2x i -2x. Izrazi 2x i -2x se krate, čime ostaje jednačina sa samo jednom promjenјivom koja se može riješiti.

$$-2y-y=6-3$$

Saberite -2y i -y.

$$-3y=6-3$$

Saberite 6 i -3.

$$-3y=3$$

Podijelite obje strane s -3.

$$y=-1$$

Zamijenite -1 za y u 2x+y=3. Pošto dobijena jednačina sadrži samo jednu promjenlјivu, možete direktno riješiti za x.

$$2x-1=3$$

Dodajte 1 na obje strane jednačine.

$$2x=4$$

Podijelite obje strane s 2.

$$x=2$$

Sistem je riješen.

$$x=2,y=-1$$