Riješi x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Riješite za x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Pomnožite obje strane jednačine sa 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x sa 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-2x+1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Kombinirajte 2x i 2x da biste dobili 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Oduzmite 6 s obje strane.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Oduzmite 6 od -1 da biste dobili -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao 3x^{2}+ax+bx-7. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -21.

$$-1,21 -3,7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 4.

$$a=-3 b=7$$

Ponovo napišite 3x^{2}+4x-7 kao \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Isključite 3x u prvoj i 7 drugoj grupi.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Izdvojite obični izraz x-1 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-1=0 i 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Pomnožite obje strane jednačine sa 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x sa 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-2x+1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Kombinirajte 2x i 2x da biste dobili 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Oduzmite 6 s obje strane.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Oduzmite 6 od -1 da biste dobili -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 3 i a, 4 i b, kao i -7 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadrat od 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 i 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 i -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Saberite 16 i 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 i 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±10}{6} kada je ± plus. Saberite -4 i 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Podijelite 6 sa 6.

$$x=1$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-4±10}{6} kada je ± minus. Oduzmite 10 od -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Svedite razlomak \frac{-14}{6} na najprostije elemente rastavlјanjem i kraćenjem 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Jednačina je riješena.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Pomnožite obje strane jednačine sa 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Koristite distributivno svojstvo da biste pomnožili 2x sa 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-2x+1, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Kombinirajte 4x^{2} i -x^{2} da biste dobili 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Kombinirajte 2x i 2x da biste dobili 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Dodajte 1 na obje strane.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Saberite 6 i 1 da biste dobili 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Podijelite obje strane s 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Dijelјenje sa 3 poništava množenje sa 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Podijelite \frac{4}{3}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{2}{3}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{2}{3} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{2}{3} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Saberite \frac{7}{3} i \frac{4}{9} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Oduzmite \frac{2}{3} s obje strane jednačine.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$