Riješi x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=2$$

$$x=1-i$$

$$x=1+i$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 4 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 sa x-1 da biste dobili x^{3}-4x^{2}+6x-4. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -4 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=2$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}-4x^{2}+6x-4 sa x-2 da biste dobili x^{2}-2x+2. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -2 sa b i 2 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Riješite jednačinu x^{2}-2x+2=0 kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=1-i x=1+i$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=2 x=1-i x=1+i$$

Riješite za x

$$x=1$$

$$x=2$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 4 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 sa x-1 da biste dobili x^{3}-4x^{2}+6x-4. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -4 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=2$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}-4x^{2}+6x-4 sa x-2 da biste dobili x^{2}-2x+2. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -2 sa b i 2 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Budući da kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u realnom polju, nema rješenja.

$$x\in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=2$$