Riješi x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Riješite za x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

Koraci za rješenje

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Oduzmite 4x^{2} s obje strane.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Dodajte 12x na obje strane.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Oduzmite 9 s obje strane.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -9 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}-4x^{2}+12x-9 sa x-1 da biste dobili x^{3}+x^{2}-3x+9. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 9 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-3$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}+x^{2}-3x+9 sa x+3 da biste dobili x^{2}-2x+3. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -2 sa b i 3 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Riješite jednačinu x^{2}-2x+3=0 kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Riješite za x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Koraci za rješenje

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Oduzmite 4x^{2} s obje strane.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Dodajte 12x na obje strane.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Oduzmite 9 s obje strane.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante -9 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=1$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{4}-4x^{2}+12x-9 sa x-1 da biste dobili x^{3}+x^{2}-3x+9. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 9 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Navedite sve kandidate \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Pronađite jedan takav korijen tako što ćete isprobati sve vrijednosti cijelih brojeva, počevši od najmanje po apsolutnoj vrijednosti. Ako se ne pronađe nijedan korijen cijelog broja, isprobajte razlomke.

$$x=-3$$

Prema teoremi faktora, x-k je faktor polinoma za svaki korijen k. Podijelite x^{3}+x^{2}-3x+9 sa x+3 da biste dobili x^{2}-2x+3. Riješite jednačinu gde rezultat iznosi 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -2 sa b i 3 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Budući da kvadratni korijen negativnog broja nije definiran u realnom polju, nema rješenja.

$$x\in \emptyset$$

Navedi sva pronađena rješenja.

$$x=1 x=-3$$