Riješi x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Faktor

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Koraci za rješenje

Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 40 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Jedan takav korijen je -5. Faktorirajte polinom tako što ćete ga podijeliti sa x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Razmotrite x^{3}+x^{2}-10x+8. Prema teoremi racionalnih korijena, svi racionalni korijeni polinoma su u obliku \frac{p}{q}, gdje p dijeli termin konstante 8 i q dijeli uvodni koeficijent 1. Jedan takav korijen je -4. Faktorirajte polinom tako što ćete ga podijeliti sa x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Razmotrite x^{2}-3x+2. Faktorišite izraz grupisanjem. Prvo, izraz treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+2. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Jedini takav par je rješenje sistema.

$$a=-2 b=-1$$

Ponovo napišite x^{2}-3x+2 kao \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Isključite x u prvoj i -1 drugoj grupi.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Izdvojite obični izraz x-2 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Ponovo napišite cijeli faktorirani izraz.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Procijeni

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$