Riješi x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

Riješite za x

$$x=-6$$

$$x=7$$

Koraci koji koriste faktoring

Oduzmite 42 s obje strane.

$$x^{2}-x-42=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-x-42 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=-42$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-7 b=6$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-7=0 i x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 42 s obje strane.

$$x^{2}-x-42=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-42. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -1.

$$a=-7 b=6$$

Ponovo napišite x^{2}-x-42 kao \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

Isključite x u prvoj i 6 drugoj grupi.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Izdvojite obični izraz x-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-7=0 i x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-x=42$$

Oduzmite 42 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

Oduzimanjem 42 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-x-42=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -1 i b, kao i -42 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -42.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

Saberite 1 i 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

Opozit broja -1 je 1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±13}{2} kada je ± plus. Saberite 1 i 13.

$$x=\frac{14}{2}$$

Podijelite 14 sa 2.

$$x=7$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{1±13}{2} kada je ± minus. Oduzmite 13 od 1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Podijelite -12 sa 2.

$$x=-6$$

Jednačina je riješena.

$$x=7 x=-6$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x=42$$

Podijelite -1, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Saberite 42 i \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodajte \frac{1}{2} na obje strane jednačine.

$$x=7 x=-6$$