Riješi x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Riješite za x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-7x-30 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-10 b=3$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-30. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -7.

$$a=-10 b=3$$

Ponovo napišite x^{2}-7x-30 kao \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Isključite x u prvoj i 3 drugoj grupi.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Izdvojite obični izraz x-10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -7 i b, kao i -30 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Saberite 49 i 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Opozit broja -7 je 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{7±13}{2} kada je ± plus. Saberite 7 i 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Podijelite 20 sa 2.

$$x=10$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{7±13}{2} kada je ± minus. Oduzmite 13 od 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Podijelite -6 sa 2.

$$x=-3$$

Jednačina je riješena.

$$x=10 x=-3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Dodajte 30 na obje strane jednačine.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Oduzimanjem -30 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Oduzmite -30 od 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Podijelite -7, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{7}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{7}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{7}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Saberite 30 i \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodajte \frac{7}{2} na obje strane jednačine.

$$x=10 x=-3$$