Riješi x^2-50x-5000=0

$$x ^ { 2 } - 50 x - 5000 = 0$$

Riješite za x

$$x=-50$$

$$x=100$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-50x-5000 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-50 ab=-5000$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -5000.

$$1,-5000 2,-2500 4,-1250 5,-1000 8,-625 10,-500 20,-250 25,-200 40,-125 50,-100$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-5000=-4999 2-2500=-2498 4-1250=-1246 5-1000=-995 8-625=-617 10-500=-490 20-250=-230 25-200=-175 40-125=-85 50-100=-50$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -50.

$$a=-100 b=50$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-100\right)\left(x+50\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-100=0 i x+50=0.

$$x=100 x=-50$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-5000. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-50 ab=1\left(-5000\right)=-5000$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b negativan, negativan broj ima veću apsolutnu vrijednost od pozitivnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -5000.

$$1,-5000 2,-2500 4,-1250 5,-1000 8,-625 10,-500 20,-250 25,-200 40,-125 50,-100$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1-5000=-4999 2-2500=-2498 4-1250=-1246 5-1000=-995 8-625=-617 10-500=-490 20-250=-230 25-200=-175 40-125=-85 50-100=-50$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -50.

$$a=-100 b=50$$

Ponovo napišite x^{2}-50x-5000 kao \left(x^{2}-100x\right)+\left(50x-5000\right).

$$\left(x^{2}-100x\right)+\left(50x-5000\right)$$

Isključite x u prvoj i 50 drugoj grupi.

$$x\left(x-100\right)+50\left(x-100\right)$$

Izdvojite obični izraz x-100 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-100\right)\left(x+50\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-100=0 i x+50=0.

$$x=100 x=-50$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-50x-5000=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -50 i b, kao i -5000 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\left(-5000\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -50.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\left(-5000\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -5000.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+20000}}{2}$$

Saberite 2500 i 20000.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{22500}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 22500.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±150}{2}$$

Opozit broja -50 je 50.

$$x=\frac{50±150}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{50±150}{2} kada je ± plus. Saberite 50 i 150.

$$x=\frac{200}{2}$$

Podijelite 200 sa 2.

$$x=100$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{50±150}{2} kada je ± minus. Oduzmite 150 od 50.

$$x=-\frac{100}{2}$$

Podijelite -100 sa 2.

$$x=-50$$

Jednačina je riješena.

$$x=100 x=-50$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-50x-5000=0$$

Dodajte 5000 na obje strane jednačine.

$$x^{2}-50x-5000-\left(-5000\right)=-\left(-5000\right)$$

Oduzimanjem -5000 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-50x=-\left(-5000\right)$$

Oduzmite -5000 od 0.

$$x^{2}-50x=5000$$

Podijelite -50, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -25. Zatim dodajte kvadrat od -25 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-50x+\left(-25\right)^{2}=5000+\left(-25\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -25.

$$x^{2}-50x+625=5000+625$$

Saberite 5000 i 625.

$$x^{2}-50x+625=5625$$

Faktor x^{2}-50x+625. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-25\right)^{2}=5625$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-25\right)^{2}}=\sqrt{5625}$$

Pojednostavite.

$$x-25=75 x-25=-75$$

Dodajte 25 na obje strane jednačine.

$$x=100 x=-50$$