Riješi x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Riješite za x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -2 sa b i -5 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Riješite jednačinu x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Da bi proizvod bio negativan, x-\left(\sqrt{6}+1\right) i x-\left(1-\sqrt{6}\right) moraju imati suprotne predznake. Razmotrite slučaj kad je x-\left(\sqrt{6}+1\right) pozitivno, a x-\left(1-\sqrt{6}\right) negativno.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Ovo je netačno za svaki x.

$$x\in \emptyset$$

Razmotrite slučaj kad je x-\left(1-\sqrt{6}\right) pozitivno, a x-\left(\sqrt{6}+1\right) negativno.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$