Riješi x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Riješite za x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Da biste riješili nejednačinu, faktorirajte lijevu stranu. Kvadratni polinom se može faktorirati pomoću transformacije ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), pri čemu x_{1} i x_{2} predstavlјaju rješenja kvadratne jednačine ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite 1 sa a, -2 sa b i -1 sa c u kvadratnoj formuli.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Izvršite računanje.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Riješite jednačinu x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Ponovo napišite nejednačinu koristeći dobivena rješenja.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Da bi proizvod bio ≤0, jedna od vrijednosti x-\left(\sqrt{2}+1\right) i x-\left(1-\sqrt{2}\right) mora biti ≥0, a druga vrijednost mora biti ≤0. Razmotri slučaj kada su x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 i x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Ovo je netačno za svaki x.

$$x\in \emptyset$$

Razmotri slučaj kada su x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 i x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Rješenje koje zadovoljava obje nejednakosti je x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Konačno rješenje je unija dobivenih rješenja.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$