Riješi x^2-18x=-65

$$x ^ { 2 } - 18 x = - 65$$

Riješite za x

$$x=5$$

$$x=13$$

Koraci koji koriste faktoring

Dodajte 65 na obje strane.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-18x+65 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-18 ab=65$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -18.

$$a=-13 b=-5$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-13=0 i x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Dodajte 65 na obje strane.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+65. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -18.

$$a=-13 b=-5$$

Ponovo napišite x^{2}-18x+65 kao \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

Isključite x u prvoj i -5 drugoj grupi.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Izdvojite obični izraz x-13 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-13=0 i x-5=0.

$$x=13 x=5$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-18x=-65$$

Dodajte 65 na obje strane jednačine.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=-65-\left(-65\right)$$

Oduzimanjem -65 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-18x-\left(-65\right)=0$$

Oduzmite -65 od 0.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -18 i b, kao i 65 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Pomnožite -4 i 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Saberite 324 i -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

Opozit broja -18 je 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{18±8}{2} kada je ± plus. Saberite 18 i 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

Podijelite 26 sa 2.

$$x=13$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{18±8}{2} kada je ± minus. Oduzmite 8 od 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

Podijelite 10 sa 2.

$$x=5$$

Jednačina je riješena.

$$x=13 x=5$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x=-65$$

Podijelite -18, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -9. Zatim dodajte kvadrat od -9 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -9.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Saberite -65 i 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Faktor x^{2}-18x+81. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Pojednostavite.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Dodajte 9 na obje strane jednačine.

$$x=13 x=5$$