Riješi x^2-14x+40=0

$$x ^ { 2 } - 14 x + 40 = 0$$

Riješite za x

$$x=4$$

$$x=10$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-14x+40 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-14 ab=40$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -14.

$$a=-10 b=-4$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+40. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -14.

$$a=-10 b=-4$$

Ponovo napišite x^{2}-14x+40 kao \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

Isključite x u prvoj i -4 drugoj grupi.

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

Izdvojite obični izraz x-10 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-10=0 i x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -14 i b, kao i 40 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

Pomnožite -4 i 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

Saberite 196 i -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

Opozit broja -14 je 14.

$$x=\frac{14±6}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±6}{2} kada je ± plus. Saberite 14 i 6.

$$x=\frac{20}{2}$$

Podijelite 20 sa 2.

$$x=10$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{14±6}{2} kada je ± minus. Oduzmite 6 od 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Podijelite 8 sa 2.

$$x=4$$

Jednačina je riješena.

$$x=10 x=4$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Oduzmite 40 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-14x+40-40=-40$$

Oduzimanjem 40 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-14x=-40$$

Podijelite -14, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -7. Zatim dodajte kvadrat od -7 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Saberite -40 i 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Faktor x^{2}-14x+49. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pojednostavite.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Dodajte 7 na obje strane jednačine.

$$x=10 x=4$$