Riješi x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Riješite za x

$$x=6$$

$$x=7$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-13x+42 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=42$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-7 b=-6$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-7=0 i x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+42. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-7 b=-6$$

Ponovo napišite x^{2}-13x+42 kao \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Isključite x u prvoj i -6 drugoj grupi.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Izdvojite obični izraz x-7 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-7=0 i x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -13 i b, kao i 42 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Pomnožite -4 i 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Saberite 169 i -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Opozit broja -13 je 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±1}{2} kada je ± plus. Saberite 13 i 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Podijelite 14 sa 2.

$$x=7$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±1}{2} kada je ± minus. Oduzmite 1 od 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Podijelite 12 sa 2.

$$x=6$$

Jednačina je riješena.

$$x=7 x=6$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Oduzmite 42 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Oduzimanjem 42 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Podijelite -13, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{13}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{13}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{13}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Saberite -42 i \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Dodajte \frac{13}{2} na obje strane jednačine.

$$x=7 x=6$$