Riješi x^2-13x+22=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 22 = 0$$

Riješite za x

$$x=2$$

$$x=11$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-13x+22 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=22$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 22.

$$-1,-22 -2,-11$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-22=-23 -2-11=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-11 b=-2$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-11\right)\left(x-2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-11=0 i x-2=0.

$$x=11 x=2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+22. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-13 ab=1\times 22=22$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 22.

$$-1,-22 -2,-11$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-22=-23 -2-11=-13$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -13.

$$a=-11 b=-2$$

Ponovo napišite x^{2}-13x+22 kao \left(x^{2}-11x\right)+\left(-2x+22\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(-2x+22\right)$$

Isključite x u prvoj i -2 drugoj grupi.

$$x\left(x-11\right)-2\left(x-11\right)$$

Izdvojite obični izraz x-11 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-11\right)\left(x-2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-11=0 i x-2=0.

$$x=11 x=2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-13x+22=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -13 i b, kao i 22 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 22}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 22}}{2}$$

Pomnožite -4 i 22.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-88}}{2}$$

Saberite 169 i -88.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 81.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±9}{2}$$

Opozit broja -13 je 13.

$$x=\frac{13±9}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±9}{2} kada je ± plus. Saberite 13 i 9.

$$x=\frac{22}{2}$$

Podijelite 22 sa 2.

$$x=11$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{13±9}{2} kada je ± minus. Oduzmite 9 od 13.

$$x=\frac{4}{2}$$

Podijelite 4 sa 2.

$$x=2$$

Jednačina je riješena.

$$x=11 x=2$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+22=0$$

Oduzmite 22 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-13x+22-22=-22$$

Oduzimanjem 22 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-13x=-22$$

Podijelite -13, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{13}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{13}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{13}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-22+\frac{169}{4}$$

Saberite -22 i \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dodajte \frac{13}{2} na obje strane jednačine.

$$x=11 x=2$$