Riješi x^2-12x+49=22

$$x ^ { 2 } - 12 x + 49 = 22$$

Riješite za x

$$x=3$$

$$x=9$$

Koraci koji koriste faktoring

Oduzmite 22 s obje strane.

$$x^{2}-12x+49-22=0$$

Oduzmite 22 od 49 da biste dobili 27.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-12x+27 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-12 ab=27$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -12.

$$a=-9 b=-3$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Oduzmite 22 s obje strane.

$$x^{2}-12x+49-22=0$$

Oduzmite 22 od 49 da biste dobili 27.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+27. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -12.

$$a=-9 b=-3$$

Ponovo napišite x^{2}-12x+27 kao \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Isključite x u prvoj i -3 drugoj grupi.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Izdvojite obični izraz x-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-12x+49=22$$

Oduzmite 22 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-12x+49-22=22-22$$

Oduzimanjem 22 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-12x+49-22=0$$

Oduzmite 22 od 49.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -12 i b, kao i 27 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27}}{2}$$

Pomnožite -4 i 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108}}{2}$$

Saberite 144 i -108.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6}{2}$$

Opozit broja -12 je 12.

$$x=\frac{12±6}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{12±6}{2} kada je ± plus. Saberite 12 i 6.

$$x=\frac{18}{2}$$

Podijelite 18 sa 2.

$$x=9$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{12±6}{2} kada je ± minus. Oduzmite 6 od 12.

$$x=\frac{6}{2}$$

Podijelite 6 sa 2.

$$x=3$$

Jednačina je riješena.

$$x=9 x=3$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x+49=22$$

Oduzmite 49 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-12x+49-49=22-49$$

Oduzimanjem 49 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-12x=22-49$$

Oduzmite 49 od 22.

$$x^{2}-12x=-27$$

Podijelite -12, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -6. Zatim dodajte kvadrat od -6 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -6.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Saberite -27 i 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Faktor x^{2}-12x+36. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pojednostavite.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Dodajte 6 na obje strane jednačine.

$$x=9 x=3$$