Riješi x^2-11x+18=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 18 = 0$$

Riješite za x

$$x=2$$

$$x=9$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}-11x+18 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=18$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-9 b=-2$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-9\right)\left(x-2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x-2=0.

$$x=9 x=2$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+18. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=-11 ab=1\times 18=18$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b negativno, a a b su oba negativna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu -11.

$$a=-9 b=-2$$

Ponovo napišite x^{2}-11x+18 kao \left(x^{2}-9x\right)+\left(-2x+18\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-2x+18\right)$$

Isključite x u prvoj i -2 drugoj grupi.

$$x\left(x-9\right)-2\left(x-9\right)$$

Izdvojite obični izraz x-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-9\right)\left(x-2\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x-2=0.

$$x=9 x=2$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}-11x+18=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, -11 i b, kao i 18 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 18}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 18}}{2}$$

Pomnožite -4 i 18.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-72}}{2}$$

Saberite 121 i -72.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 49.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±7}{2}$$

Opozit broja -11 je 11.

$$x=\frac{11±7}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±7}{2} kada je ± plus. Saberite 11 i 7.

$$x=\frac{18}{2}$$

Podijelite 18 sa 2.

$$x=9$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{11±7}{2} kada je ± minus. Oduzmite 7 od 11.

$$x=\frac{4}{2}$$

Podijelite 4 sa 2.

$$x=2$$

Jednačina je riješena.

$$x=9 x=2$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+18=0$$

Oduzmite 18 s obje strane jednačine.

$$x^{2}-11x+18-18=-18$$

Oduzimanjem 18 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}-11x=-18$$

Podijelite -11, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{11}{2}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{11}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-18+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{11}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-18+\frac{121}{4}$$

Saberite -18 i \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{7}{2}$$

Dodajte \frac{11}{2} na obje strane jednačine.

$$x=9 x=2$$