Riješi x^2-(3x-2)^2=5-(x-5)^2

$$x ^ { 2 } - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } = 5 - ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Riješite za x

$$x = \frac{\sqrt{113} + 1}{7} \approx 1,661449402$$

$$x=\frac{1-\sqrt{113}}{7}\approx -1,375735116$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(3x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-\left(9x^{2}-12x+4\right)=5-\left(x-5\right)^{2}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 9x^{2}-12x+4, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{2}-9x^{2}+12x-4=5-\left(x-5\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i -9x^{2} da biste dobili -8x^{2}.

$$-8x^{2}+12x-4=5-\left(x-5\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$-8x^{2}+12x-4=5-\left(x^{2}-10x+25\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-10x+25, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$-8x^{2}+12x-4=5-x^{2}+10x-25$$

Oduzmite 25 od 5 da biste dobili -20.

$$-8x^{2}+12x-4=-20-x^{2}+10x$$

Oduzmite -20 s obje strane.

$$-8x^{2}+12x-4-\left(-20\right)=-x^{2}+10x$$

Opozit broja -20 je 20.

$$-8x^{2}+12x-4+20=-x^{2}+10x$$

Dodajte x^{2} na obje strane.

$$-8x^{2}+12x-4+20+x^{2}=10x$$

Saberite -4 i 20 da biste dobili 16.

$$-8x^{2}+12x+16+x^{2}=10x$$

Kombinirajte -8x^{2} i x^{2} da biste dobili -7x^{2}.

$$-7x^{2}+12x+16=10x$$

Oduzmite 10x s obje strane.

$$-7x^{2}+12x+16-10x=0$$

Kombinirajte 12x i -10x da biste dobili 2x.

$$-7x^{2}+2x+16=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite -7 i a, 2 i b, kao i 16 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-7\right)\times 16}}{2\left(-7\right)}$$

Izračunajte kvadrat od 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-7\right)\times 16}}{2\left(-7\right)}$$

Pomnožite -4 i -7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+28\times 16}}{2\left(-7\right)}$$

Pomnožite 28 i 16.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+448}}{2\left(-7\right)}$$

Saberite 4 i 448.

$$x=\frac{-2±\sqrt{452}}{2\left(-7\right)}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 452.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{113}}{2\left(-7\right)}$$

Pomnožite 2 i -7.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{113}}{-14}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2\sqrt{113}}{-14} kada je ± plus. Saberite -2 i 2\sqrt{113}.

$$x=\frac{2\sqrt{113}-2}{-14}$$

Podijelite -2+2\sqrt{113} sa -14.

$$x=\frac{1-\sqrt{113}}{7}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-2±2\sqrt{113}}{-14} kada je ± minus. Oduzmite 2\sqrt{113} od -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{113}-2}{-14}$$

Podijelite -2-2\sqrt{113} sa -14.

$$x=\frac{\sqrt{113}+1}{7}$$

Jednačina je riješena.

$$x=\frac{1-\sqrt{113}}{7} x=\frac{\sqrt{113}+1}{7}$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(3x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-\left(9x^{2}-12x+4\right)=5-\left(x-5\right)^{2}$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od 9x^{2}-12x+4, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$x^{2}-9x^{2}+12x-4=5-\left(x-5\right)^{2}$$

Kombinirajte x^{2} i -9x^{2} da biste dobili -8x^{2}.

$$-8x^{2}+12x-4=5-\left(x-5\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(x-5\right)^{2}.

$$-8x^{2}+12x-4=5-\left(x^{2}-10x+25\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}-10x+25, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$-8x^{2}+12x-4=5-x^{2}+10x-25$$

Oduzmite 25 od 5 da biste dobili -20.

$$-8x^{2}+12x-4=-20-x^{2}+10x$$

Dodajte x^{2} na obje strane.

$$-8x^{2}+12x-4+x^{2}=-20+10x$$

Kombinirajte -8x^{2} i x^{2} da biste dobili -7x^{2}.

$$-7x^{2}+12x-4=-20+10x$$

Oduzmite 10x s obje strane.

$$-7x^{2}+12x-4-10x=-20$$

Kombinirajte 12x i -10x da biste dobili 2x.

$$-7x^{2}+2x-4=-20$$

Dodajte 4 na obje strane.

$$-7x^{2}+2x=-20+4$$

Saberite -20 i 4 da biste dobili -16.

$$-7x^{2}+2x=-16$$

Podijelite obje strane s -7.

$$\frac{-7x^{2}+2x}{-7}=-\frac{16}{-7}$$

Dijelјenje sa -7 poništava množenje sa -7.

$$x^{2}+\frac{2}{-7}x=-\frac{16}{-7}$$

Podijelite 2 sa -7.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=-\frac{16}{-7}$$

Podijelite -16 sa -7.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x=\frac{16}{7}$$

Podijelite -\frac{2}{7}, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili -\frac{1}{7}. Zatim dodajte kvadrat od -\frac{1}{7} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{16}{7}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od -\frac{1}{7} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{16}{7}+\frac{1}{49}$$

Saberite \frac{16}{7} i \frac{1}{49} tako što ćete pronaći zajednički imenilac i sabrati brojioce. Zatim svedite razlomak na najniže termine ukoliko je moguće.

$$x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{113}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{113}{49}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{113}{49}}$$

Pojednostavite.

$$x-\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{113}}{7} x-\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{113}}{7}$$

Dodajte \frac{1}{7} na obje strane jednačine.

$$x=\frac{\sqrt{113}+1}{7} x=\frac{1-\sqrt{113}}{7}$$