Riješi x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Riješite za x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}+34x-71000 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 34.

$$a=-250 b=284$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-250=0 i x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-71000. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 34.

$$a=-250 b=284$$

Ponovo napišite x^{2}+34x-71000 kao \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Isključite x u prvoj i 284 drugoj grupi.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Izdvojite obični izraz x-250 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-250=0 i x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 34 i b, kao i -71000 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 34.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Saberite 1156 i 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-34±534}{2} kada je ± plus. Saberite -34 i 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Podijelite 500 sa 2.

$$x=250$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-34±534}{2} kada je ± minus. Oduzmite 534 od -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Podijelite -568 sa 2.

$$x=-284$$

Jednačina je riješena.

$$x=250 x=-284$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Dodajte 71000 na obje strane jednačine.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Oduzimanjem -71000 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Oduzmite -71000 od 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Podijelite 34, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 17. Zatim dodajte kvadrat od 17 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 17.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Saberite 71000 i 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Faktor x^{2}+34x+289. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Pojednostavite.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Oduzmite 17 s obje strane jednačine.

$$x=250 x=-284$$