Riješi x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Riješite za x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}+31x-360 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=31 ab=-360$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 31.

$$a=-9 b=40$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-360. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 31.

$$a=-9 b=40$$

Ponovo napišite x^{2}+31x-360 kao \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Isključite x u prvoj i 40 drugoj grupi.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Izdvojite obični izraz x-9 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-9=0 i x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 31 i b, kao i -360 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Saberite 961 i 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-31±49}{2} kada je ± plus. Saberite -31 i 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Podijelite 18 sa 2.

$$x=9$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-31±49}{2} kada je ± minus. Oduzmite 49 od -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Podijelite -80 sa 2.

$$x=-40$$

Jednačina je riješena.

$$x=9 x=-40$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Dodajte 360 na obje strane jednačine.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Oduzimanjem -360 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Oduzmite -360 od 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Podijelite 31, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili \frac{31}{2}. Zatim dodajte kvadrat od \frac{31}{2} na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Izračunajte kvadrat od \frac{31}{2} tako što ćete izračunati kvadrat od brojioca i imenioca razlomka.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Saberite 360 i \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Faktor x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Pojednostavite.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Oduzmite \frac{31}{2} s obje strane jednačine.

$$x=9 x=-40$$