Riješi x^2+18x+65=0

$$x ^ { 2 } + 18 x + 65 = 0$$

Riješite za x

$$x=-13$$

$$x=-5$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}+18x+65 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=18 ab=65$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 65.

$$1,65 5,13$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+65=66 5+13=18$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 18.

$$a=5 b=13$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x+5\right)\left(x+13\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x+5=0 i x+13=0.

$$x=-5 x=-13$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx+65. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=18 ab=1\times 65=65$$

Pošto je ab pozitivno, a a b ima isti znak. Pošto je a+b pozitivno, a a b su oba pozitivna. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod 65.

$$1,65 5,13$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$1+65=66 5+13=18$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 18.

$$a=5 b=13$$

Ponovo napišite x^{2}+18x+65 kao \left(x^{2}+5x\right)+\left(13x+65\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(13x+65\right)$$

Isključite x u prvoj i 13 drugoj grupi.

$$x\left(x+5\right)+13\left(x+5\right)$$

Izdvojite obični izraz x+5 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x+5\right)\left(x+13\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x+5=0 i x+13=0.

$$x=-5 x=-13$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}+18x+65=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 18 i b, kao i 65 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 65}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Pomnožite -4 i 65.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-260}}{2}$$

Saberite 324 i -260.

$$x=\frac{-18±\sqrt{64}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 64.

$$x=\frac{-18±8}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-18±8}{2} kada je ± plus. Saberite -18 i 8.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Podijelite -10 sa 2.

$$x=-5$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-18±8}{2} kada je ± minus. Oduzmite 8 od -18.

$$x=-\frac{26}{2}$$

Podijelite -26 sa 2.

$$x=-13$$

Jednačina je riješena.

$$x=-5 x=-13$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+18x+65=0$$

Oduzmite 65 s obje strane jednačine.

$$x^{2}+18x+65-65=-65$$

Oduzimanjem 65 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}+18x=-65$$

Podijelite 18, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 9. Zatim dodajte kvadrat od 9 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+18x+9^{2}=-65+9^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 9.

$$x^{2}+18x+81=-65+81$$

Saberite -65 i 81.

$$x^{2}+18x+81=16$$

Faktor x^{2}+18x+81. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=16$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Pojednostavite.

$$x+9=4 x+9=-4$$

Oduzmite 9 s obje strane jednačine.

$$x=-5 x=-13$$