Riješi x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Riješite za x

$$x=-32$$

$$x=16$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}+16x-512 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=16 ab=-512$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 16.

$$a=-16 b=32$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-16=0 i x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-512. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 16.

$$a=-16 b=32$$

Ponovo napišite x^{2}+16x-512 kao \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Isključite x u prvoj i 32 drugoj grupi.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Izdvojite obični izraz x-16 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-16=0 i x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 16 i b, kao i -512 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Saberite 256 i 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-16±48}{2} kada je ± plus. Saberite -16 i 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Podijelite 32 sa 2.

$$x=16$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-16±48}{2} kada je ± minus. Oduzmite 48 od -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Podijelite -64 sa 2.

$$x=-32$$

Jednačina je riješena.

$$x=16 x=-32$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Dodajte 512 na obje strane jednačine.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

Oduzimanjem -512 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Oduzmite -512 od 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Podijelite 16, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 8. Zatim dodajte kvadrat od 8 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 8.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Saberite 512 i 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Faktor x^{2}+16x+64. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Pojednostavite.

$$x+8=24 x+8=-24$$

Oduzmite 8 s obje strane jednačine.

$$x=16 x=-32$$