Riješi x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Riješite za x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Koraci za rješenje

Oduzmite x^{2}+11 s obje strane jednačine.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Da biste pronašli suprotnu vrijednost od x^{2}+11, pronađite suprotnu vrijednost svakog izraza.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Oduzmite 11 od 42 da biste dobili 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Izračunajte kvadrat od obje strane jednačine.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Izračunajte \sqrt{x^{2}+11} stepen od 2 i dobijte x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Koristite binomnu teoremu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} da biste proširili \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Da biste podigli stepen na neki drugi stepen, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 i 2 da biste dobili 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Oduzmite 961 s obje strane.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Oduzmite 961 od 11 da biste dobili -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Dodajte 62x^{2} na obje strane.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Kombinirajte x^{2} i 62x^{2} da biste dobili 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Oduzmite x^{4} s obje strane.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Zamijenite t za x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Sve nejednakosti izraza ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti korištenjem kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zamijenite -1 sa a, 63 sa b i -950 sa c u kvadratnoj formuli.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Izvršite računanje.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Riješite jednačinu t=\frac{-63±13}{-2} kad je ± pozitivno i kad je ± negativno.

$$t=25 t=38$$

Pošto je x=t^{2}, rješenja se izračunavaju procjenjivanjem x=±\sqrt{t} za svaki t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Zamijenite 5 za x u jednačini x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Pojednostavite. Vrijednost x=5 zadovoljava jednačinu.

$$42=42$$

Zamijenite -5 za x u jednačini x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Pojednostavite. Vrijednost x=-5 zadovoljava jednačinu.

$$42=42$$

Zamijenite \sqrt{38} za x u jednačini x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Pojednostavite. Vrijednost x=\sqrt{38} ne zadovoljava jednačinu.

$$56=42$$

Zamijenite -\sqrt{38} za x u jednačini x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Pojednostavite. Vrijednost x=-\sqrt{38} ne zadovoljava jednačinu.

$$56=42$$

Spisak svih rješenja izraza \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$