Riješi x^2+10x-3000=0

$$x ^ { 2 } + 10 x - 3000 = 0$$

Riješite za x

$$x=-60$$

$$x=50$$

Koraci koji koriste faktoring

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite x^{2}+10x-3000 koristeći formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=10 ab=-3000$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 10.

$$a=-50 b=60$$

Ponovo napišite faktorisani izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) pomoću dobijenih korena.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-50=0 i x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Koraci koji koriste faktoring grupisanjem

Da biste riješili jednadžbu, faktorišite lijevu stranu grupisanjem. Prvo, lijevu stranu treba prepisati kao x^{2}+ax+bx-3000. Da biste pronašli a i b, uspostavite sistem koji treba riješiti.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

Pošto je ab negativno, a a b ima suprotan znak. Pošto je a+b pozitivno, pozitivan broj ima veću apsolutnu vrijednost od negativnog. Navedite sve parove cijelih brojeva koji daju proizvod -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

Izračunajte sumu za svaki par.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

Rješenje je njihov par koji daje sumu 10.

$$a=-50 b=60$$

Ponovo napišite x^{2}+10x-3000 kao \left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

Isključite x u prvoj i 60 drugoj grupi.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

Izdvojite obični izraz x-50 koristeći svojstvo distribucije.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

Da biste došli do rješenja jednadžbe, riješite x-50=0 i x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

Koraci pomoću kvadratne formule

Sve jednačine u obrascu ax^{2}+bx+c=0 mogu se riješiti pomoću kvadratne formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadratna formula daje dva rješenja, jedno kada je ± sabiranje, a drugo kada je oduzimanje.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Ova jednačina je u standardnom obliku: ax^{2}+bx+c=0. Zamijenite 1 i a, 10 i b, kao i -3000 i c u kvadratnoj formuli, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Izračunajte kvadrat od 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3000\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 i -3000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12000}}{2}$$

Saberite 100 i 12000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{12100}}{2}$$

Izračunajte kvadratni korijen od 12100.

$$x=\frac{-10±110}{2}$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-10±110}{2} kada je ± plus. Saberite -10 i 110.

$$x=\frac{100}{2}$$

Podijelite 100 sa 2.

$$x=50$$

Sada riješite jednačinu x=\frac{-10±110}{2} kada je ± minus. Oduzmite 110 od -10.

$$x=-\frac{120}{2}$$

Podijelite -120 sa 2.

$$x=-60$$

Jednačina je riješena.

$$x=50 x=-60$$

Koraci za dovršavanje kvadrata

Kvadratne jednačine kao što je ova mogu se riješiti dovršavanjem kvadrata. Da bi se dovršio kvadrat, jednačina mora biti u obliku x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

Dodajte 3000 na obje strane jednačine.

$$x^{2}+10x-3000-\left(-3000\right)=-\left(-3000\right)$$

Oduzimanjem -3000 od samog sebe ostaje 0.

$$x^{2}+10x=-\left(-3000\right)$$

Oduzmite -3000 od 0.

$$x^{2}+10x=3000$$

Podijelite 10, koeficijent izraza x, sa 2 da biste dobili 5. Zatim dodajte kvadrat od 5 na obje strane jednačine. Ovaj korak čini lijevu stranu jednačine savršenim kvadratom.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

Izračunajte kvadrat od 5.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

Saberite 3000 i 25.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

Faktor x^{2}+10x+25. Generalno, kada je x^{2}+bx+c savršen kvadrat, uvijek se može uračunati kao \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

Izračunajte kvadratni korijen od obje strane jednačine.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

Pojednostavite.

$$x+5=55 x+5=-55$$

Oduzmite 5 s obje strane jednačine.

$$x=50 x=-60$$